06.04.26 (№19-21)

Шаблон-автокод для решения всех заданий сразу

Одна куча камней

def f(s, m):
    if s >= 59: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(s + 1, m - 1), f(s + 4, m - 1), f(s * 3, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print([x for x in range(1, 59) if f(x, 2)])
print([x for x in range(1, 59) if not f(x, 1) and f(x, 3)])
print([x for x in range(1, 59) if f(x, 2) and f(x, 4)])

Две кучи камней

def f(a, b, m):
    if a + b >= 259: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(a + 1, b, m - 1), f(a, b + 1, m - 1), f(a + 2, b, m - 1), f(a, b + 2, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print([x for x in range(1, 242) if f(17, x, 2)])
print([x for x in range(1, 242) if not f(17, x, 1) and f(17, x, 3)])
print([x for x in range(1, 242) if not f(17, x, 2) and f(17, x, 4)])

Три кучи камней

def f(a, b, c, m):
    if a + b + c >= 71: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(a + 3, b, c, m - 1), f(a, b + 3, c, m - 1), f(a, b, c + 3, m - 1), f(a * 2, b, c, m - 1), f(a, b * 2, c, m - 1), f(a, b, c * 2, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print([x for x in range(1, 59) if f(7, 5, x, 2)])
print([x for x in range(1, 59) if not f(7, 5, x, 1) and f(17, x, 3)])
print([x for x in range(1, 59) if not f(7, 5, x, 2) and f(17, x, 4)])

156) *(П. Тюрин) Два игрока, Паша и Валера, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, содержащая белые и чёрные камни. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может

а) убрать из кучи белый камень
б) убрать из кучи два белых камня
в) убрать из кучи чёрный камень
г) убрать из кучи два чёрных камня

Игра заканчивается, когда в куче остаётся суммарно менее двух камней. Победителем считается тот, кто сделал последний ход, после которого в куче осталось менее двух камней. В начальный момент в куче может быть от одного до восьми камней каждого цвета.
Пример. В начальной куче было три белых камня и два чёрных камня. Такую комбинацию камней назовём позицией и будем обозначать (3,2). Т.к. первый ход делает Паша, то он может получить следующие позиции: (2,2), (1,2), (3,1), (3,0).

Задание 19. Известно, что Валера выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Паши. Укажите максимальное суммарное количество чёрных и белых камней в куче, при котором такая ситуация возможна.

Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значение количества камней в куче, при которых выполняются два условия:
– у Паши есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть не более, чем за три хода при любой игре Валеры;
– у Паши нет выигрышной стратегии, позволяющей ему выиграть не более, чем за два хода.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21. Укажите количество начальных комбинаций камней в куче, при которых Валера имеет выигрышную стратегию.

Решение

№19: 5
№20: 8 9
№21: 21

157) (Демо-2026) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

– убрать из кучи 3 камня;
– убрать из кучи 5 камней;
– уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 31. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20. Найдите два наименьших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21. Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение

def f(s, m):
    if s <= 30: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(s - 3, m - 1), f(s - 5, m - 1), f(s // 4, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print([x for x in range(31, 1001) if f(x, 2)])
print([x for x in range(31, 1001) if not f(x, 1) and f(x, 3)])
print([x for x in range(31, 1001) if not f(x, 2) and f(x, 4)])

158) (ЕГКР-2025) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

– добавить в кучу 2 камня;
– добавить в кучу 4 камня;
– увеличить количество камней в куче в 2 раза.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 125. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 125 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 124. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 21. Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение

def f(s, m):
    if s >= 126: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(s + 2, m - 1), f(s + 4, m - 1), f(s * 2, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print([x for x in range(1, 125) if f(x, 2)])
print([x for x in range(1, 125) if not f(x, 1) and f(x, 3)])
print([x for x in range(1, 125) if not f(x, 2) and f(x, 4)])

159) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

– добавить в кучу 2 камня;
– добавить в кучу 3 камня;
– увеличить количество камней в куче в 3 раза.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 273. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 273 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 272. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите сумму значений S, при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21. Найдите сумму значений S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение

def f(s, m):
    if s >= 273: return m % 2 == 0
    if m == 0: return 0
    steps = [f(s + 2, m - 1), f(s + 3, m - 1), f(s * 3, m - 1)]
    return any(steps) if m % 2 != 0 else all(steps)

print(sum([x for x in range(1, 273) if not f(x, 1) and f(x, 2)]))
print([x for x in range(1, 273) if not f(x, 1) and f(x, 3)])
print(sum([x for x in range(1, 273) if not f(x, 2) and f(x, 4)]))

Главная / 6 апреля 2026 г.

№19-21. Выигрышная стратегия