19.01.26 (№15)

405) (Е. Джобс) Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение

(5x – 6y < A) ∨ (x – y > 30)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x, y?

Решение

Ответ: 11

415) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Сколько существует натуральных значений A на отрезке [1;1000], при которых формула

ДЕЛ(A, 3) ∧ (ДЕЛ(220, x) → (¬ДЕЛ(A, x) → ¬ДЕЛ(550, x)))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом натуральном x?

Решение

Ответ: 3

416) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Сколько существует натуральных значений А на отрезке [1;1000], при которых формула

ДЕЛ(A, 9) ∧ (ДЕЛ(280, x) → (¬ДЕЛ(A, x) → ¬ДЕЛ(730, x)))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом натуральном x?

Подсказка

Решение

k = 0
for a in range(9, 1001, 9):
    f = 1
    for x in range(1, 281):
        f *= (a % 9 == 0) and (280 % x != 0 or a % x == 0 or 730 % x != 0)
        if not f:
            break
    if f:
        k += 1
        print(a)
print("k =", k)

417) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 87 = 0) → ((X & 31 ≠ 0) → (X & A ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Решение

for a in range(1, 1000):
    f = 1
    for x in range(1, 1000):
        f *= (x & 87 == 0) <= ((x & 31 != 0) <= (x & a != 0))
        if not f: break
    if f:
        print(a)
        break

421) Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 13 = 0) → ((X & 40 ≠ 0) → (X & A ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Решение

Ответ: 32

422) (А. Богданов) На числовой прямой дан отрезок Q = [29; 47]. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(¬ДЕЛ(x, 3) ∧ x ∉ {48,52,56}) → (( | x – 50 | ≤ 7) → (x ∈ Q)) ∨ (x & A = 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

Решение

for a in range(1, 1000):
    f = 1
    for x in range(1, 1000):
        f *= ((x % 3 != 0) and x not in [48, 52, 56]) <= ((abs(x - 50) <= 7) <= (29 <= x <= 47)) or (x & a == 0)
        if not f:
            break
    if f:
        print(a)
        break

427) На числовой прямой даны два отрезка: Р = [5, 15] и Q = [12, 18]. Найдите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

((x ∈ A) – (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Решение

434) На числовой прямой даны два отрезка: Р = [12, 26] и Q = [30, 35]. Найдите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

((x ∈ A) ∧ ¬((x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q))

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

Решение

453) На числовой прямой даны два отрезка: Р = [12, 26] и Q = [30, 35]. Найдите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

((x ∈ A) ∧ ¬((x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q))

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

Решение

538) (А. Богданов) Для какого наименьшего целого неотрицательного A выражение

(11 ≤ y) ∨ (7y < x) ∨ (A > x·y)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y?

Решение

for A in range(1, 1000):
    OK = True
    for x in range(1, 200):
        for y in range(1, 200):
            if not (11 <= y or 7 * y < x or A > x * y):
                OK = False
                break
    if OK:
        print(A)
        break

Главная / 19 января 2026 г.

№15. Преобразование логических выражений